Python 和逐次逼近法

通过这个示例脚本学习如何在 Python 中进行逐次逼近。

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Zagrev on Flickr. CC BY-SA 2.0

我在院子里做些工作，想知道能套住 4x6 英寸柱子的最小圆有多大。当然，就像 2x4 木料实际上不是 2 英寸乘 4 英寸一样，4x6 柱子（他们称之为“标称”尺寸）实际上是 3.5 英寸乘 5.5 英寸，所以这个最小圆的直径是 3.5x5.5 英寸矩形的对角线。毕达哥拉斯定理告诉我们，这将是 3.5 的平方和 5.5 的平方之和的平方根。当时，我只有手机，手机上的计算器只有基本的数学运算，那么如何得到 42.5 的平方根呢？逐次逼近法。

你做出初步猜测，知道它大于 6 但小于 7，然后尝试 6.2，也许是 6.3，依此类推。数字 6.5 非常接近，平方为 42.25，因此你进入下一个小数位。最后，你达到 6.5192，并认为已经足够接近了。为此，你不需要计算器上的平方根函数。

不久前我意识到，用笔算“计算”平方根的方法只不过是在纸上使用相同的方法，所以我认为教 Python 如何做到这一点会很有趣。在进一步深入之前，我想补充一点，我完全知道 Python math 模块有一个 sqrt 函数可以做到这一点，但这远不如创建自己的脚本有趣。

我的方法是让脚本询问所需的平方根值，然后询问小数位数，然后逐步逼近平方根，这将涉及大量的重复、测试和重新测试。那时我想要的是某种递增循环，并进行测试以查看我是否低于或高于所需值。这是最终结果

#!/usr/bin/env python
# sqrt.py - find square root

def sqtest(num, orig, ind):
    sq = 0
    while sq <= orig:
        num = num + ind
        sq = num * num
    num = num - ind
    return num

n = float(0) # this is our working number. We start at zero and increment.

innum = input("For what number would you like to get the square root? ")
i = input("To how many decimal places? ")

inc = float(10)
i += 1
if (innum < 0):
    i = 0
while i:
    inc = inc * 0.1
    n  = sqtest (n, innum, inc)
    i -= 1
if (innum >= 0):
    sq = n * n
    print "Approximate square root of " + str(innum)+ " is " + str(n) + "\n(Actual square of this would be "+str(sq)+")"
else:
    print "This would be an imaginary number"

现在，跳过缩进部分，称为函数，它以 def sqtest 开头。你将告诉 Python 从零开始探索，因为你可能在某个时候想要介于 0 和 1 之间的数字的平方根。在此之后，你询问你需要平方根的数字，以及你想要多少位小数精度。

虽然看起来你的初始增量将是 10，但这将被重构，以便你稍后可以平滑地处理小数。将小数位数加 1，因为在到达小数之前，你将有一个用于单位及以上的循环。接下来，你检查输入的数字是否小于零，这样你就不会在虚数上浪费时间。

现在进入循环，你将你的工作数字 n、你的原始数字 innum 和当前的增量（最初为 10 x 0.1）发送到 sqtest 函数。

在 sqtest 中，你将当前工作数字的值、你需要平方根的数字和当前的增量值发送给它。在清除任何先前的值之后，你检查工作数字加上新增量的平方，如果它小于 innum，则递增直到平方大于 innum，此时你后退一个增量档位，并将新的工作数字发回。下面的 while 循环现在获取你的最后一个增量值并取其十分之一，然后你再次进入 sqtest。重复此操作，直到完成请求的小数位数。

这是一个示例输出

For what number would you like to get the square root? 28837465
To how many decimal places? 6
Approximate square root of 28837465 is 5370.052606
(Actual square of this would be 28837464.9912)

请注意，我不仅显示平方根，还显示它的实际平方是多少，以便更好地了解我有多接近。需要记住的一件事是最后一位数字的不确定性。由于此脚本的工作方式，此值被截断为 6 位小数，而不是四舍五入，因此你不知道第七位小数是大于还是小于 5。最好拥有比你认为需要的更多位数，这样你可能决定进行的任何四舍五入都是准确的。

你可能会认为，对于大数字，从 0 开始并以 1 递增会很耗时，但我认为你会惊讶于解释器在这里运行的速度有多快——这个 8 位数字的平方根，精确到 6 位小数，几乎是瞬间完成的。对于现实世界中的数字，这已经足够了，即使是 15 位数字加上 6 位小数，也可能需要 3 秒。但是，在某些时候，可能会出现有效数字位数的问题。

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