Python 和逐次逼近法

学习如何使用这个示例脚本在 Python 中进行逐次逼近。

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Zagrev on Flickr. CC BY-SA 2.0

我在院子里做一些工作，我想知道能套住 4x6 英寸柱子的最小圆圈。当然，就像 2x4 不是 2 英寸乘 4 英寸一样，4x6 柱子（他们称之为“标称”尺寸）实际上是 3.5 英寸乘 5.5 英寸，所以这个最小圆圈的直径是 3.5x5.5 英寸矩形的对角线。毕达哥拉斯定理告诉我们，这将是 3.5 的平方和 5.5 的平方之和的平方根。当时，我只有手机，它的计算器只有基本的数学运算，那么如何得到 42.5 的平方根呢？逐次逼近法。

你做出初步猜测，知道它大于 6 但小于 7，并尝试 6.2，也许是 6.3，等等。数字 6.5 非常接近，平方为 42.25，所以你继续到下一个小数点后一位。最后，你达到 6.5192，并认为已经足够接近了。你不需要计算器上的平方根函数来做这个。

不久前，我突然想到，用手“计算”平方根的方法只不过是在纸上使用相同的方法，所以我认为教 Python 如何做到这一点会很有趣。在进一步深入之前，我想补充一点，我完全意识到 Python math 模块有一个 sqrt 函数可以做到这一点，但这远不如创建我自己的脚本有趣。

我的方法是让脚本询问想要计算平方根的值，然后询问小数点位数，然后逐步逼近平方根，这将涉及大量的重复、测试和重新测试。我想要的是某种递增循环，并进行测试以查看我是低于还是高于期望值。这是最终结果

#!/usr/bin/env python
# sqrt.py - find square root

def sqtest(num, orig, ind):
    sq = 0
    while sq <= orig:
        num = num + ind
        sq = num * num
    num = num - ind
    return num

n = float(0) # this is our working number. We start at zero and increment.

innum = input("For what number would you like to get the square root? ")
i = input("To how many decimal places? ")

inc = float(10)
i += 1
if (innum < 0):
    i = 0
while i:
    inc = inc * 0.1
    n  = sqtest (n, innum, inc)
    i -= 1
if (innum >= 0):
    sq = n * n
    print "Approximate square root of " + str(innum)+ " is " + str(n) + "\n(Actual square of this would be "+str(sq)+")"
else:
    print "This would be an imaginary number"

现在，跳过缩进部分，称为函数，它以 def sqtest 开头。你要告诉 Python 从零开始探索，因为你可能在某个时候想要计算 0 到 1 之间数字的平方根。在此之后，你询问你需要平方根的数字，然后询问你想要多少位小数精度。

虽然看起来你的初始增量将是 10，但这将被重构，以便你稍后可以顺利地处理小数。将小数位数加 1，因为在处理小数之前，你将有一个用于个位及以上的循环。接下来，你检查输入的数字是否小于零，这样你就不会在虚数上浪费时间。

现在进入循环，你将你的工作数字 n、你的原始数字 innum 和当前增量（最初是 10 x 0.1）发送到 sqtest 函数。

在 sqtest 中，你将当前工作数字的值、你需要计算平方根的数字和当前增量值发送到该函数。在清除任何先前的值之后，你检查工作数字加上新增量的平方，如果它小于 innum，则递增，直到平方大于 innum，此时你后退一个增量刻度，并将新的工作数字发送回去。较低的 while 循环现在采用你的最后一个增量值并取其十分之一，然后你再次开始 sqtest。你重复此操作，直到完成请求的小数位数。

这是一个示例输出

For what number would you like to get the square root? 28837465
To how many decimal places? 6
Approximate square root of 28837465 is 5370.052606
(Actual square of this would be 28837464.9912)

请注意，我不仅显示了平方根，还显示了它的实际平方，以便更好地了解我有多接近。要记住的一件事是最后一位数字的不确定性。由于此脚本的工作方式，此值在小数点后 6 位被截断，而不是四舍五入，因此你不知道第七位小数是大于还是小于 5。最好拥有比你认为需要的更多位数，以便你可能决定进行的任何四舍五入都是准确的。

你可能会认为从 0 开始并以 1 递增对于大数字来说会很耗时，但我认为你会惊讶于解释器在这里运行的速度有多快——这个 8 位数字的平方根，精确到小数点后 6 位，几乎是瞬间完成的。对于真实世界的数字，这已经足够了，即使对于 15 位数字加上小数点后 6 位，也可能只需要 3 秒。但是，在某些时候，可能会出现有效位数的问题。

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